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Real Numbers

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Números reales y aritmética de ordenador

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El conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales
1
1.1 El conjunto de los números reales 5 1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales 8 1.3 Valor absoluto 9 1.4 El principio de inducción 10 1.5 Intervalos y conjuntos destacados 13 1.6 Ejercicios 14

Existen diferentes formas de formalizar el conjunto de los números reales aunque se pueden agrupar en dos variantes: constructivos y axiomáticos. Los primeros son demasiado laboriosos para un curso de Cálculo y, por este motivo, hemos preferido dejarlos de lado. En su lugar, hemos asumido que el conjunto de los números reales es conocido por el lector y elegimos la definición axiomática de este conjunto.

1.1 El conjunto de los números reales
Vamos a definir el conjunto de los números reales, R, en términos de qué sabemos hacer con sus elementos, qué propiedades tienen. Estas propiedades que vamos a presentar aquí se llaman axiomas y, por supuesto, no son todas las propiedades de los números reales sino las mínimas, y es que a partir de ellas se obtienen el resto de propiedades.
Es difícil que, si alguien nos pregunta, seamos capaces de dar una respuesta clara de qué es un número pero sí somos capaces de decir qué cosas podemos hacer con ellos.
En el conjunto de los números reales tenemos definidas varias operaciones. La primera que todos aprendemos es la suma.

Suma de números reales
Las suma verifica, entre otras, las siguientes propiedades. Sean a, b y c números reales cualesquiera.
a) Propiedad asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c.
b) Propiedad conmutativa: a + b = b + a.
c) Existencia de elemento neutro: a + 0 = a.
d) Existencia de elemento opuesto: a + (−a) = 0.
Estas cuatro propiedades se resumen diciendo que (R, +) es un grupo abeliano o conmutativo.

Producto de números reales
Además de la suma también sabemos multiplicar números reales. Por el mismo motivo, se supone que sabemos dividir. Mucho cuidado con esta afirmación. No estamos hablando de cómo se dividen números sino de que, supuesto conocido el producto de números, la división es la operación inversa. Ocurre lo mismo con la suma: no hemos dicho como se restan números reales pero, en teoría, restar un número es simplemente sumar el número cambiado de signo, es decir, sumar el opuesto. Con el producto, dividir por un número a es multiplicar por el inverso, al que llamaremos
1/a.

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El conjunto de los números reales

5)
6)
7)
8)

El conjunto de los números reales

Sean a, b y c números reales. Entonces se verifican las siguientes propiedades.
Propiedad asociativa: a(bc) = (ab)c.
Propiedad conmutativa: ab = ba.
Existencia de elemento neutro: a1 = 1a.
Existencia de elemento inverso: Si a es distinto de 0 entonces a 1 = 1. a Observación 1.1. El elemento opuesto en el caso de la suma y el elemento inverso para el producto son únicos. En el caso de la suma la notación es siempre la misma: el opuesto de a es −a y en vez de escribir b + (−a) escribiremos b − a. Para el inverso del producto usaremos
1
indistintamente la notación 1 o a−1 y también es más usual escribir b que b a . a a
Una vez que tenemos la suma y el producto, hay otra propiedad que hace que se relacionen de forma buena:
9) propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac.

Orden
El orden en el conjunto de los números reales también es algo conocido por el lector. Lo podemos ver de varias formas: sabemos cuándo un número es positivo o somos capaces de decidir cuál de dos números es el mayor. Hagamos un breve resumen de las propiedades relacionadas con el orden. Evidentemente las propiedades podemos exponerlas sobre "ser menor que", "ser mayor que" o también sobre "ser mayor o igual que" o "ser menor o igual que". Como hay que elegir una de las posibilidades elegimos esta última aunque el resto nos darían propiedades análogas.
10) Propiedad reflexiva: a ≤ a.
11) Propiedad antisimétrica: si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.
12) Propiedad transitiva: si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c.
13) El orden es total: dado a ∈ R, se cumple que a ≥ 0 o que a ≤ 0 o, lo que es lo mismo, dados a, b ∈ R, se cumple que a ≤ b o que b ≤ a.
Las siguientes propiedades relacionan la suma y el producto con el orden que acabamos de presentar. 14) Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c.
15) Si a ≤ b y c ≥ 0, entonces ac ≤ bc.

El último axioma
Las propiedades que hemos comentado hasta ahora no determinan de manera única el conjunto de los números reales. El conjunto de los número racionales también las verifica como se puede comprobar fácilmente. ¿Cúal es la diferencia entre ambos conjuntos? ¿Qué sabemos hacer en R que no podamos hacer en Q? Siempre que se hace esta pregunta en clase las respuestas suelen ser del tipo: raíces cuadradas, logaritmos, senos o cosenos, etc. Aunque se podría intentar seguir por ahí, ese camino puede tener más dificultades a posteriori que el que vamos a elegir.
Necesitamos, por tanto, alguna propiedad más para diferenciarlos. Esta última propiedad está muy relacionada con el orden, pero antes de presentarla necesitamos definir algunos conceptos.

Cota

Definición 1.2.
a) Sea A ⊂ R, diremos que M ∈ R es una cota superior o mayorante (resp. inferior o minorante) de A si a ≤ M para cualquier a ∈ A (resp. a ≥ M).

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El conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales

El conjunto A ⊂ R está acotado superiormente o mayorado (resp. acotado inferiormente o minorado) si tiene una cota superior (resp. inferior). Por último el conjunto está acotado si está mayorado y minorado.
b) Sea A un subconjunto de R. Diremos que a0 ∈ A es el máximo absoluto (resp. mínimo absoluto) de A si verifica que a ≤ a0 (resp. a ≥ a0 ) para cualquier a ∈ A y lo llamaremos max(A) (resp. min(A)).

Máximo absoluto

Veamos algunos ejemplos de estos conceptos.
Ejemplo 1.3.
a) El conjunto de los números naturales no es un conjunto acotado. Concretamente, no es un conjunto acotado superiormente pero sí está acotado inferiormente. Como no está acotado superiormente no tiene máximo. Sí tiene mínimo: 1 ≤ n para cualquier natural n.
b) El conjunto 1 : n ∈ N está acotado superior e inferiormente: 0 ≤ 1 ≤ 1 para cualquier natural n n
n. Tiene máximo: el 1, pero no tiene mínimo. El mínimo podría ser el cero pero no pertenece al conjunto.
A la vista de los ejemplos, la existencia de máximo implica que el conjunto esta acotado pero el recíproco no es cierto. Hay conjuntos acotados y que no tienen ni máximo ni mínimo: piensa en el intervalo ]0, 1[. Sin embargo, aunque ni el 0 ni el 1 sean ni máximo ni mínimo, sí parece claro que tienen un papel destacado. De alguna forma son los extremos del conjunto, pertenezcan o no a dicho conjunto. El supremo y el ínfimo van a ser una forma de reconocer este tipo de puntos.
Definición 1.4. Sea A un subconjunto acotado superiormente de R. El supremo del conjunto
A, sup(A), es el mínimo del conjunto de las cotas superiores de A. Análogamente se define el ínfimo de un conjunto acotado inferiormente como el máximo de sus cotas inferiores y lo notaremos inf(A).
Si llamamos, para A un conjunto mayorado, M(A) al conjunto de sus mayorantes, entonces sup(A) = min(M(A)).
Cabe preguntarse si un conjunto mayorado tiene supremo. La situación es la siguiente: Si A es un conjunto mayorado el conjunto de sus mayorantes, M(A), está minorado. Sabemos que un conjunto minorado no tiene por qué tener mínimo pero ¿y si el conjunto minorado del que estamos hablando es un conjunto de mayorantes?
Pues bien, la última propiedad de los números reales nos dice que el supremo de un conjunto mayorado siempre existe:

Axioma del supremo: todo conjunto acotado superiormente tiene supremo.

Este axioma es equivalente al “axioma del ínfimo”. Sólo hay que darse cuenta de que si cambiamos el signo las desigualdades también cambian.
Ejemplo 1.5. Los extremos de un intervalo acotado son el supremo e ínfimo de dicho intervalo independientemente de si pertenecen o no al intervalo. En el caso particular de que alguno de ellos esté en dicho intervalo serán, además máximo o mínimo (lo que corresponda).

–7–

Supremo
Ínfimo

Naturales, enteros, racionales e irracionales

El conjunto de los números reales

Proposición 1.6. Sea A un conjunto acotado superiormente y sea x el supremo de A.
a) Si x ∈ A, entonces A no tiene máximo.
/
b) Si x ∈ A, entonces A tiene máximo y, de hecho, x = max(A).
La siguiente proposición será útil en la demostración de algunos resultados posteriores.
Proposición 1.7. Sea A ⊂ R un subconjunto acotado superiormente y sea x ∈ R. Entonces

 i) a ≤ x, para todo a ∈ A

 x = sup(A) ⇐⇒ 
 ii) dado ε > 0, ∃ a ∈ A tal que x − ε < a.


1.2 Naturales, enteros, racionales e irracionales
Números naturales
El conjunto de los números naturales, al que denotaremos N, es
N = {1, 2, 3, . . .}
La inclusión del cero como número natural es una convención. En algunos textos aparece como natural y en otros no. Nosotros no lo vamos a incluir para simplificar algunas notaciones. Por
1
ejemplo, para poder hablar de log(n) o de n sin necesidad de estar recordando constantemente que n no puede ser cero.

Números enteros
El conjunto de los números enteros, Z, es
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
La operación suma en Z es una operación interna: la suma (y la resta) de enteros es un entero. No ocurre lo mismo con el producto. El inverso de un número entero no nulo es un número racional.

Números racionales e irracionales
Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como cociente de un entero y un natural: p
Q=
: p ∈ Z, q ∈ N . q Los números irracionales, R \ Q, son aquellos que no son racionales. Probablemente estás más acostumbrado a tratar con la representación decimal de los números reales. Los racionales tienen una cantidad finita de decimales o infinita periódica. Los irracionales, por tanto, tienen una cantidad infinita de decimales no periódicos.
Observación 1.8. El conjunto de los números irracionales no es, ni siquiera, un espacio vectorial como lo es el conjunto de los números racionales. El elemento neutro para la suma o el producto, 0 y 1, no son irracionales. Es muy fácil encontrar ejemplos de que la suma y el producto de números irracionales no es necesariamente un numero irracional: 2π = 2. π Número algebraico

Dentro de los números reales podemos distinguir entre números algebraicos y números trascendentes. Un número es algebraico si es solución de un polinomio con coeficientes enteros. Por

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El conjunto de los números reales

Valor absoluto

√ ejemplo, cualquier racional o 2 son números algebraicos. Si no se puede expresar como raíz de un polinomio con coeficientes enteros diremos que es un número trascendente.
No es fácil buscar las raíces irracionales de un polinomio, pero sí podemos buscar las posibles raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros.

Número trascendente

Observación 1.9. Dada la ecuación an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0, donde a0 , a1 ,,...,an son números enteros y a0 an = 0, si la ecuación tiene una raíz racional p/q (con p y q primos entre si), entonces p divide a a0 y q divide a an .
El conocimiento de las raíces racionales nos puede servir para comprobar que un número no es racional. Ejemplo 1.10. Las únicas posibles raíces racionales del polinomio x2 − 2 = 0 son ±1, ±2. Cómo

ninguna de ellas es solución del polinomio, 2 no puede ser un número racional.

La otra demostración usual de que 2 no es un número racional √ utiliza la descomposición en primos de un número y la reducción al√ absurdo: supongamos que 2 fuera racional. Eso quiere p p decir que podría escribirse de la forma 2 = q , donde q es una fracción irreducible. Si elevamos al cuadrado obtenemos que 2q2 = p2 y, en consecuencia, p2 es un número par. Pero para que el cuadrado de un número sea par, necesariamente dicho número debe ser par. Luego p = 2a para conveniente a. Sustituyendo, q2 = 2a2 y, por tanto, q también es par. Hemos obtenido una contradicción: la fracción p/q no puede ser irreducible y, a la vez, que numerador y denominador

sean pares. Por tanto, 2 no puede ser racional.
Comprueba tú mismo que con las mismas ideas puedes comprobar que la raíz cuadrada de un natural es otro natural o un número irracional.

1.3 Valor absoluto
La distancia entre dos números reales se mide calculando la diferencia entre el mayor y el menor de ellos. La función que mide la distancia al cero es la función valor absoluto.
Definición 1.11.

Se define el valor absoluto de un número real x como
|x| =

Valor Absoluto

x, si x ≥ 0
−x, si x < 0

Proposición 1.12. Dados x, y ∈ R, se verifican las siguientes afirmaciones.
a) |x| ≥ 0, y |x| = 0 ⇐⇒ x = 0,
b) |x| ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y,
c) |x + y| ≤ |x| + |y|,
d) ||x| − |y|| ≤ |x − y|,
e) si |xy| = |x| |y|.
Para demostrar cualquiera de estas desigualdades o, en general, para trabajar con expresiones en las que intervienen valores absolutos tenemos varias posibilidades. La primera de ellas es discutir los distintos casos que se pueden presentar. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1.13. ¿Cuándo es cierta la desigualdad |x − 3| < |x − 1|?
Lo que vamos a hacer es eliminar el valor absoluto (una función definida a trozos) discutiendo todas las posibilidades:

–9–

Desigualdad triangular

El principio de inducción

El conjunto de los números reales

a) si x ≤ 1, |x − 3| < |x − 1| ⇐⇒ −(x − 3) < −(x − 1) ⇐⇒ −3 > −1 lo que, claramente, no es cierto, b) si 1 ≤ x ≤ 3, |x − 3| < |x − 1| ⇐⇒ −(x − 3) < (x − 1) ⇐⇒ 2 < x, y por último
c) si x ≥ 3, |x − 3| < |x − 1| ⇐⇒ (x − 3) < (x − 1) ⇐⇒ −3 < −1.
Resumiendo, la desigualdad es cierta si, y sólo si, x > 2.
También podemos aprovechar el hecho de que elevar al cuadrado conserva el orden en los reales positivos: 0 < a < b ⇐⇒ a2 < b2 . Vamos a utilizar esto para demostrar la desigualdad triangular:
|x + y| ≤ |x| + |y| ⇐⇒ |x + y|2 ≤ (|x| + |y|)2
⇐⇒ x2 + y2 + 2xy ≤ x2 + y2 + 2 |xy|
⇐⇒ xy ≤ |xy| , lo cual, evidentemente, es cierto. Observa que, de regalo, hemos probado que la igualdad en la desigualdad triangular es cierta si, y sólo si, xy = |xy| o, lo que es lo mismo, si x e y tienen el mismo signo. Prueba tú a demostrar el resto de afirmaciones de la proposición anterior.

1.4 El principio de inducción
La definición del conjunto de los números naturales puede hacerse como la definición que hemos dado del conjunto de los números reales mediante una serie de propiedades que lo caractericen en lugar de especificar cuáles son sus elementos. Si el axioma del supremo es la propiedad clave que nos ha permitido definir los números reales, en el caso de los naturales dicha propiedad es la de ser inductivo.
Conjunto inductivo

Definición 1.14. Un subconjunto A de los números reales diremos que es inductivo si verifica las siguientes dos propiedades:
a) 1 ∈ A,
b) si a ∈ A, entonces a + 1 ∈ A.
Ejemplo 1.15.
a) R, Q, Z, N, R+ son conjuntos inductivos.
b) Ningún conjunto acotado puede ser un conjunto inductivo.
Definición 1.16. El conjunto de los números naturales es el menor conjunto inductivo o, lo que es lo mismo, la intersección de todos los conjuntos inductivos.

Principio de inducción Proposición 1.17.
a) A es inductivo,
b) A ⊂ N.
Entonces A = N.

Sea A un subconjunto de los números reales verificando que

En otras palabras, para demostrar que un subconjunto del conjunto de los números naturales,
A ⊂ N, es, en realidad, el conjunto de los naturales es suficiente con comprobar que
a) 1 ∈ A, y que
b) si n ∈ A, entonces n + 1 ∈ A.
La principal utilidad de este principio es demostrar que una propiedad indicada en el conjunto de los naturales es cierta. Por ejemplo, la propiedad “todos los números de la forma n3 + 5n son

– 10 –

El conjunto de los números reales

El principio de inducción

divisibles por 6” son en realidad muchas (tantas como naturales) afirmaciones. No es difícil fijar un natural y comprobar que para ese concreto la propiedad es cierta. Pero, ¿cómo podemos hacerlo para todos a la vez? En este tipo de demostraciones, el principio de inducción nos proporciona una ventaja. Para demostrar que se cumple para un natural puede suponerse que la propiedad es cierta para el natural anterior (hipótesis de inducción). Esto puede ser muy útil en algunas ocasiones.
Ejemplo 1.18. Demostrar que 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 , para cualquier n ∈ N.
Lo demostramos usando el método de inducción. Tenemos que comprobar que el conjunto
A = n ∈ N; 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 coincide con N. Para ello es suficiente con demostrar que A es un conjunto inductivo, o sea, tenemos que comprobar que
a) la propiedad es cierta para n = 1, y que
b) si la propiedad es cierta para un número natural, también es cierta para el siguiente número natural. Vamos allá.
a) Es inmediato comprobar que la propiedad se cumple la propiedad para n = 1.
b) Supongamos que se cumple para un natural fijo m y comprobemos que se cumple para m + 1:
1 + 3 + 5 + . . . + (2m − 1) + (2m + 1) = m2 + (2m + 1) = (m + 1)2 .
Por tanto, A = N y la propiedad se cumple para todos los naturales.

1.4.1

Una aplicación del principio de inducción: el binomio de Newton
¿Cuántas posibilidades tienes de que aciertes la lotería primitiva? Tienes que escoger 6 números de entre 47 sin importar el orden. El número de combinaciones posibles es 47 .
6
Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, y sin tener en cuenta el orden de colocación de sus elementos. El número de combinaciones que se pueden construir de esta forma es n n!
=
p!(n − p)! p A los números de la forma n , “n sobre p” se les suele llamar números combinatorios. Recordemos p que el factorial de un número natural n es

Números combinatorios

n! = 1 · 2 · 3 · · · n y que 0! = 1.
Las siguientes propiedades de los números combinatorios son fáciles de comprobar y nos serán muy útiles.
a) n = n = 1, para cualquier n ∈ N.
0
n
b)

n i +

n i−1 =

n+1 i Proposición 1.19.

, para cualesquiera i ≤ n naturales.
Dados a, b ∈ R y n ∈ N, se cumple que

– 11 –

Binomio de Newton

El principio de inducción

El conjunto de los números reales

n

n n−i i a b i (a + b) = n i=0

Demostración. Vamos a probarlo usando el método de inducción. Es claro que la propiedad es cierta para n = 1. Supongamos que es cierta para un natural fijo n y comprobemos que se cumple para n + 1:
(a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n n = (a + b) i=0 n

n n−i i a b i n n−i+1 i a b + i = i=0 n n+1
=
a +
0

n i=1 n + 1 n+1
=
a +
0
n + 1 n+1 a +
0

=

n + 1 n+1 a +
0

=

n + 1 n+1
=
a +
0
n+1

n n−i i+1 a b i i=0

n n+1−i i a b + i n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n−1 i=0 n n+1−i i a b + i n n+1−i i a b + i n n−i i+1 n n+1 a b + b i n n−1

n n−i i+1 n + 1 n+1 a b + b i n+1 i=0 n n n + 1 n+1 an+1− j b j + b j−1 n+1 j=1

n n n + 1 n+1
+
an+1−i bi + b i i−1 n+1 n + 1 n+1−i i n + 1 n+1 a b + b i n+1 n + 1 n+1−i i a b. i = i=0 Triángulo de Pascal o de Tartaglia

n

La utilidad del binomio de Newton estriba en que no es necesario calcular el desarrollo completo de (x + 3)15 si sólo nos interesa el coeficiente de x4 que, por cierto, es 15 311 .
4
Los coeficientes del desarrollo de (a + b)n también se pueden encontrar usando el llamado triángulo de Pascal (o de Tartaglia). Este consiste en lo siguiente: comenzamos con un 1, en cada línea nueva añadimos unos en los extremos y bajo cada par de números colocamos su suma. El resultado que se obtiene nos da los coeficientes del binomio de Newton. n triángulo de Pascal

n o combinatorio

0

1

(a + b)n

0
0

1

1

2
3

1
1

2
3

1
0

1
2
0

1
3

1

3
0

2
1
3
1

a+b

1
1

a2 + 2ab + b2

2
2
3
2

3
3

Tabla 1.1 Triángulo de Pascal o Tartaglia

– 12 –

a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

El conjunto de los números reales

Intervalos y conjuntos destacados

1.5 Intervalos y conjuntos destacados
Los conjuntos que van a jugar un papel más destacado son los intervalos.
Definición 1.20. Un subconjunto I de R es un intervalo si para cualesquiera x, y ∈ I se cumple que x, y = {t ∈ R : x ≤ t ≤ y} ⊂ I.

Intervalo

Ya conoces cuáles son los distintos intervalos: abiertos, semiabiertos, cerrados, acotados o no:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b}
]a, b[= {x ∈ R : a < x < b}
[a, +∞[= {x ∈ R : a ≤ x}
]a, +∞[= {x ∈ R : a < x}
] − ∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
] − ∞, b[= {x ∈ R : x < b}
Definición 1.21. Sea A un subconjunto de R.
a) Diremos que a ∈ A es un punto interior si existe ε > 0 tal que ]a − ε, a + ε[⊂ I.
˚
b) El interior de A es el conjunto, A = a ∈ A : a es un punto interior . Diremos que el conjunto A es abierto si coincide con su interior.
c) Diremos que x ∈ R es un punto adherente si para cualquier ε > 0 se tiene que

Punto interior

Punto adherente

]a − ε, a + ε[∩A = ∅.
d) El cierre o adherencia del conjunto A es A = x ∈ R : x es un punto adherente de A .
Diremos que el conjunto A es cerrado si coincide con su adherencia.
e) Diremos que x ∈ R es un punto de acumulación de A si para cualquier r positivo se cumple que

Punto de acumulación

]a − r, a + r[∩ (A \ {a}) = ∅.
Notaremos A al conjunto de todos los puntos de acumulación de A.
f) Diremos que x ∈ R es un punto aislado del conjunto A si existe r > 0 tal que

Punto aislado

]a − r, a + r[∩A = {a}.
˚
g) La frontera de A es Fr(A) = A \ A.

Frontera

Ejemplo 1.22.
a) Los intervalos abiertos, ya sean acotados o no, son conjuntos abiertos. De la misma forma los intervalos cerrados son conjuntos cerrados.
b) El conjunto de los naturales N es cerrado y tiene interior vacío al igual que Z. Además todos sus puntos son aislados.
1
c) El conjunto A = n : n ∈ N tiene interior vacío, todos sus puntos son aislados y su cierre es
A ∪ {0}. Más concretamente, 0 es un punto de acumulación de A.

– 13 –

Ejercicios

El conjunto de los números reales

Proposición 1.23. Sea A un subconjunto de R. Se verifican las siguientes afirmaciones.
˚
a) A ⊂ A ⊂ A,
b) A es abierto si, y sólo si, R \ A es cerrado.

1.6 Ejercicios
Ejercicio 1.1. Calcula para qué valores de x se verifica que

2x−3 x+2 1
< 3.

Ejercicio 1.2. Encuentra aquellos valores de x que verifican que:
1
d) x2 x,
a) 1 + 1−x > 0, x b) x2 − 5x + 9 > x,
e) x3 x,
3 (x − 2)(x + 3)2 < 0,
c) x
f) x2 − 3x − 2 < 10 − 2x.
Ejercicio 1.3. Discute para qué valores de x se verifica que:
a) |x − 1| |x + 2| = 3,
c) |x − 1| + |x + 1| < 1,
b) |x2 − x| > 1,
d) |x + 1| < |x + 3|.
Ejercicio 1.4. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad x2 − (a + b)x + ab < 0?

1.6.1

Principio de inducción
Ejercicio 1.5. Demuestra por inducción que 1 + 2 + 3 + . . . + n =

n(n+1)
2 ,

para cualquier n ∈ N.

Ejercicio 1.6. Demuestra que 1 + 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 2n = 2n+1 , para cualquier n ∈ N.
Ejercicio 1.7. sible por 9.

Prueba que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos es divi-

Ejercicio 1.8.

Demuestra que 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =

Ejercicio 1.9. Demuestra que 13 + 23 + 33 + . . . + n3 =
Ejercicio 1.10. que dos.

1.6.2

Demuestra que

1
2

+

1
4

+

1
8

+ ... +

1
2n−1

n(n+1)(2n+1)
,
6 n2 (n+1)2
,
4

para cualquier n ∈ N.

para n ∈ N.

≤ 1 para cualquier natural mayor o igual

Ejercicios complementarios
Ejercicio 1.1. Calcula, si existen, el supremo, ínfimo, máximo y mínimo de los siguientes conjuntos
a) A = [0, 1] ∪ [2, 3[,
b) A = {2n : n ∈ N},
1
c) A = x ∈ R : x2 + 2x + 1 <
,
2
d) A = [0, +∞[∩Q.
Ejercicio 1.2. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) |x − 5| < |x + 1|,
b) |x − 3| < 0.

– 14 –

El conjunto de los números reales

Ejercicios

Ejercicio 1.3. Demostrar por inducción que todos los números de la forma n3 +5n son divisibles por 6.
Ejercicio 1.4. Demostrar por inducción que todos los números de la forma 32n − 1 son divisibles por 8.
E

Ejercicio 1.5. Pruébese que para todo natural n ≥ 2 se verifica que 3 no divide a n3 − n + 1.
Ejercicio 1.6.

Pruébese que para todo natural n ≥ 2 se verifica que 5 divide a n5 − n.

Ejercicio 1.7.

Demostrar que (1 + x)n > 1 + nx, ∀ n ∈ N, n > 1. para x ∈ R \ {0}, x > −1.

Ejercicio 1.8. Demostrar que xn+1 + positivo distinto de uno.

1 xn+1 > xn +

1 xn ,

para cualquier natural n y cualquier real x

Ejercicio 1.9. Probar que si x ∈ R \ {1}, entonces se verifica que

Ejercicio 1.10.

xn+1 − 1
, ∀n ∈ N. x−1 √
Demostrar que, dado un natural n, n es natural o irracional.

Ejercicio 1.11.



Demostrar que 2 + 3 es irracional.

1 + x + x2 + x3 + . . . + xn =

– 15 –

– 16 –

Introducción al Análisis Numérico

Introducción al Análisis Numérico

Introducción al Análisis Numérico
2
2.1 Introducción al Análisis Numérico 17
2.2 Errores absolutos y relativos 18
2.3 Aritmética de ordenador 21 2.4 Estabilidad 23 2.5 Ejercicios 24

2.1 Introducción al Análisis Numérico
El análisis numérico usa métodos para aproximar de forma eficiente las soluciones de un problema matemático. De forma usual involucra cambiar cantidades que no pueden ser calculadas explícitamente por aproximaciones y, por tanto, es muy importante el manejo de los errores cometidos.
En la práctica, un problema matemático se suele derivar de un problema físico sobre el que se hacen algunas suposiciones y/o simplificaciones hasta un obtener un modelo matemático. Normalmente las suposiciones permiten trabajar con un problema matemático resoluble que se suele complicar más cuando eliminamos dichas suposiciones. Dado que el problema matemático es una aproximación al problema físico, tiene interés encontrar soluciones aproximadas al menos al problema matemático. El análisis numérico está interesado en el desarrollo de métodos (algoritmos) que construyan de forma explícita y en una cantidad finita de pasos una solución aproximada.
Tienen más interés por tanto aquellas demostraciones o construcciones que permiten encontrar explícitamente la solución.

Problema A

Problema matemático B

Solución exacta u

Problema aproximado B

Solución aproximada u

En resumen, comenzamos con un problema real A, dicho problema lo trasladamos a un problema matemático B con solución exacta u y, por último, este problema se puede cambiar por un problema matemático más sencillo B con solución u . De este desarrollo surgen algunos problemas que hay que considerar:

– 17 –

Errores absolutos y relativos

Introducción al Análisis Numérico

a) ¿Cómo podemos medir el parecido o la diferencia entre B y B ?
b) Problemas de estabilidad; es inevitable cometer errores en el cálculo, debido a los redondeos que efectúan los computadores. Interesa que pequeños errores cometidos en los cálculos que conducen a u hagan que el resultado no difiera mucho de u (hablaremos de esto en la última sección). c) Coste del proceso. ¿Cuántas operaciones deben realizarse? ¿Cuánto tiempo se precisa para realizarlas? Ejemplo 2.1. Podemos evaluar el polinomio p(x) = 12x4 + 5x3 − 18x2 + 7x + 11 de varias formas. También podemos escribirlo como p(x) = (((12x + 5)x − 18)x + 7)x + 11. El número de operaciones para evaluarlo en el primer caso es de 4 + 3 + 2 + 1 = 10 multiplicaciones y 4 sumas,
15 en total, mientras que en el segundo se requieren solamente 4 multiplicaciones y 4 sumas.
En el caso general de un polinomio de orden n, el número de multiplicaciones necesario para evaluarlo si está escrito como an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 es n(n+1)
2 .

En cambio, si lo evaluamos usando
(. . . ((an x + an−1 )x + an−2 )x + · · · + a1 )x + a0

Algoritmo de Horner

sólo necesitamos n multiplicaciones. Es preferible usar el segundo método porque exige menos operaciones y, por tanto, menos posibilidades error. El segundo método de evaluar el polinomio se denomina algoritmo de Horner.

2.2 Errores absolutos y relativos
Cuando aproximamos un número real existen dos indicadores de la precisión de dicha aproximación. En concreto:

Error absoluto

Definición 2.2. Sea α un valor real y α∗ una aproximación de éste. Se define entonces el error absoluto como erra = |α − α∗ |

Error relativo

Y si α = 0, se define el error relativo como errr =

|α − α∗ |
|α|

Ejemplo 2.3. Con los siguientes ejemplos vamos a constatar que se puede dar el mismo error relativo aunque los errores absolutos sean distintos. α α∗

error absoluto

error relativo

2
2×10 -4
2×10 4

2.1
2.1×10 -4
2.1×10 4

0.1
0.1×10 -4
0.1×10 4

0.05
0.05
0.05

Tabla 2.1 Ejemplos de errores absolutos y relativos

– 18 –

Introducción al Análisis Numérico

Errores absolutos y relativos

Hay que comentar que el valor del error relativo nos informa de la relevancia del error cometido al hacer la aproximación. Si medimos la distancia de Granada a Barcelona, así como la longitud de una pizarra y en ambos casos cometemos un error (absoluto) de 15cm, está claro que en el primer caso podríamos asegurar que la medición es correcta, cosa que en el segundo caso no sería. El motivo de que una aproximación sea precisa o no estriba en el error relativo. En el primer caso el error relativo es muy pequeño si estamos midiendo kilómetros; mientras que en el caso de la pizarra, sería un error relativo considerable.
En la práctica, como el valor de α no se conoce, en consecuencia tampoco se conocen los errores absoluto y relativo. Pero sí se pueden encontrar acotaciones de dichos errores.
Definición 2.4.

Se dice que M > 0 es una cota del error si se verifica que erra < M.

Clasificación de los errrores
Hay muchas causas que pueden interferir en la precisión de un cálculo y generar errores. Esos errores se pueden clasificar en:
Errores iniciales Vienen de los problemas al recoger los datos iniciales y se deben usualmente a medidas con precisión limitada.
Errores de redondeo Son debidos a redondeos en los cálculos porque están hechos con un número finito de cifras significativas
Errores de truncamiento Corresponden a truncamientos de procedimientos infinitos como cuando nos quedamos con una cantidad finita de términos en una serie.
Errores de propagación Son debidos a la propagación de errores previos en el algoritmo.
Ejemplo 2.5. El siguiente código es parte de la implementación de la función exponencial en la librería µ Clibc 1

/*
* ====================================================
* Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
*
* Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
* Permission to use, copy, modify, and distribute this
* software is freely granted, provided that this notice
* is preserved.
* ====================================================
*/
/* __ieee754_exp(x)
* Returns the exponential of x.
*
* Method
*
1. Argument reduction:
*
Reduce x to an r so that |r| 0, f es estrictamente creciente y verifica lim x→0 xb = 0 y lim x→+∞ xb = +∞.
d) Si b < 0, f es estrictamente decreciente y verifica lim x→0 xb = +∞ y lim x→+∞ xb = 0. f (x) = x2

4
3
2
1

-2

-1

g(x) =
0

1

2

3



4

x
5

-1
-2

Figura 3.10

Función potencial

Como consecuencia se obtiene que los polinomios, suma de funciones potenciales con exponente natural, son derivables en todo R. Más concretamente, si p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn , entonces p (x) = a1 + 2a2 x + . . . + nan xn−1 , ∀ x ∈ R.

– 34 –

Funciones elementales

3.2.2

Funciones elementales

Función exponencial
La función exponencial de base e, f : R → R está definida como f (x) = e x . A veces usaremos la notación exp(x) para indicar e x .
a) f es continua y derivable en R con f (x) = e x .
b) f es biyectiva de R en R+ y estrictamente creciente.
c) lim e x = 0 y lim e x = +∞. x→−∞ x→+∞

d) e x+y = e x ey .
6
5

f (x) = e x

4
3
2

g(x) = log(x)

1
-4

-3

-2

-1
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-2
-3
-4

Figura 3.11

3.2.3

Funciones exponencial y logaritmo neperiano

Función logaritmo neperiano
La función logaritmo neperiano 2, g(x) = log(x) para x positivo, es la inversa de la función exponencial. a) g es derivable y g (x) = 1 . x b) g es biyectiva de R+ en R y estrictamente creciente.
c) lim log(x) = −∞ y lim log(x) = +∞. x→0 x→+∞

log(xy) = log(x) + log(y), ∀ x, y ∈ R+ . x log y = log(x) − log(y), ∀ x, y ∈ R+ . log(xy ) = y log(x), ∀ x ∈ R+ , y ∈ R. log(1) = 0, log(e) = 1.
Haciendo uso de la siguiente fórmula se deducen las demás funciones elementales, excepto las trigonométricas d)
e)
f)
g)

ab = elog(a ) = eb log(a) , ∀a ∈ R+ , b ∈ R. b 2

Usaremos indistintamente la notación ln(x) y log(x) para indicar el logaritmo neperiano

– 35 –

Funciones elementales

3.2.4

Funciones elementales

Función exponencial de base a = 1 f : R → R, f (x) = a x , ∀x ∈ R
a) f es biyectiva de R en R+ , continua y verifica a x+y = a x ay .
b) Si a > 1, f es estrictamente creciente y verifica lim a x = 0 y lim a x = +∞. x→−∞ x→+∞

c) Si a < 1, f es estrictamente decreciente y verifica lim a x = +∞ y lim a x = 0. x→−∞ x→+∞

d) f es derivable y f (x) = a x log(a).
4

3

g(x) =

f (x) = 2.5 x

1
2.5 x

2

1

-2

-1

1

0

2

3

Figura 3.12 Función exponencial

3.2.5

Funciones logarítmicas de base a = 1
La inversa de la función exponencial es la función logaritmo. Su comportamiento depende de la base de la expoencial que hayamos considerado. Es por esto que en algunos casos tengamos que distinguir entre base mayor o menor que uno. g : R+ → R, g(x) = loga (x) =

log(x)
∀x ∈ R+ log(a) a) g es biyectiva de R+ en R y continua. Además g es la inversa de la función exponencial de base
a. Verifica también que loga (xy) = loga (x) + loga (y), x loga
= loga (x) − loga (y), y loga (xz ) =z loga (x) para cualesquiera x, y ∈ R+ , z ∈ R.
b) Si a > 1, g es estrictamente creciente y lim loga (x) = −∞, y

x→0

lim loga (x) = +∞.

x→+∞

c) Si a < 1, g es estrictamente decreciente y lim loga (x) = +∞, y

x→0

– 36 –

lim loga (x) = −∞.

x→+∞

Funciones elementales

Funciones elementales

3

f (x) = log(x) g(x) = log0.5 (x)

2
1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1
-2
-3

Figura 3.13

Función logaritmo

Funciones trigonométricas
3.2.6

Las funciones seno y coseno
a) Son derivables en todo R y sen (x) = cos(x), cos (x) = − sen(x).
b) Son funciones periódicas de periodo 2π sen(x + 2π) = sen(x), cos(x + 2π) = cos(x).
c) sen2 (x) + cos2 (x) = 1, ∀ x ∈ R.
Fórmula fundaπ
d) cos : [0, π] → [−1, 1] es una biyección estrictamente decreciente con cos(0) = 1, cos 2 = 0, mental de trigonometría cos(π) = −1.
e) sen : [− π , π ] → [−1, 1] es una biyección estrictamente creciente con sen − π = −1, sen(0) = 0,
2 2
2
f)
g)
h)
i)
j)

sen π = 1.
2
La imagen, tanto de la función seno como de la función coseno, es el intervalo [−1, 1].
La función coseno es par: cos(−x) = cos(x), ∀ x ∈ R.
La función seno es impar: sen(−x) = − sen(x), ∀ x ∈ R. cos(x + π) = − cos(x), sen(x + π) = − sen(x), ∀ x ∈ R.
Las funciones seno y coseno no tienen límite en +∞ ni en −∞.

– 37 –

Funciones elementales

Funciones elementales

Algunos valores destacados de seno y coseno
1
tan(x)
(cos(x),sen(x))
ángulo x
−1

−0.5

1

0.5

0

−1
1

Función seno

0.5
−0.5
−1

π
2

0

π




2

Función coseno
Figura 3.14

Las funciones seno y coseno

Radianes

Coseno

Seno

Tangente

0 π/6 π/4 π/3 π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π

1

3/2

2/2
1/2
0
−1/2

− 2/2

− 3/2
−1

0
1/2

2/2

3/2
1

32

2/2
1/2
0

0

1/ 3
1

3


− 3
−1

−1/ 3
0

Tabla 3.1 Valores de seno, coseno y tangente en los dos primeros cuadrantes

– 38 –

Funciones elementales

Funciones elementales

π
2

3

π
3


3
2


4

π
4


2
2


6

π
6

1
2


2
2



− π √



2
2

−1
2

3
2

1
2

−1
2

− 5π
6





2
2

− 2π
3

Figura 3.15

3
2

0

−π
6



−π
4



− 3π
4


3
2

−π
3

−π
2
Círculo trigonométrico

Teorema del coseno

h = a sen(θ)
1
Área= 2 bh
2 = a2 + b2 − 2ab cos(θ)
Teorema del coseno: c

c

a h θ b 3.2.7

La función tangente
Como se verifica que cos(x) = 0 ⇐⇒ x = π + kπ, k ∈ Z, podemos definir la función tangente
2
como π sen(x) tan : A → R, A = R \
+ kπ : k ∈ Z , tan(x) =
2
cos(x)

– 39 –

Funciones elementales

Funciones elementales

−π

−π
2

0

Figura 3.16

π
2

π

Función tangente

a) tan(x + π) = tan(x), ∀ x ∈ A.
b) tan : − π , π → R es una función continua y estrictamente creciente y además verifica que
2 2 lim x→− π tan(x) = −∞ y lim x→ π tan(x) = +∞.
2
2
c) La función tangente es derivable y tan (x) = 1 + tan2 (x) =

3.2.8

1
.
cos2 (x)

Secante, cosecante, cotangente
Siempre que los respectivos denominadores no se anulen, se pueden definir las siguientes funciones
1
, ∀x∈ B sen(x) 1 sec : A → R, sec(x) =
, ∀x∈ A cos(x) cos(x)
, ∀ x ∈ B, cotan : B → R, cotan(x) = sen(x) cosec : B → R, cosec(x) =

donde A = R \ { π + kπ : k ∈ Z} y B = R \ {kπ : k ∈ Z}.
2
Dichas funciones son continuas y derivables en su correspondiente dominio y sec (x) = tan(x) sec(x), cosec (x) = − cotan(x) cosec(x),
−1
cotan (x) = 2
= − cosec2 (x) = −(1 + cotan2 (x)). sen (x)

– 40 –

Funciones elementales

3.2.9

Funciones elementales

Inversas de funciones trigonométricas
Función arcoseno π Arcocoseno π 2

Esta función es la inversa de la restricción de la función seno al intervalo [− π , π ], y por tanto arcsen : [−1, 1] → [− π , π ] verifica que
2 2
2 2 sen(arcsen(x)) = x, ∀x ∈ [−1, 1].
Además, es una función biyectiva, continua y estrictamente creciente con π π arcsen(−1) = − , arcsen(0) = 0, arcsen(1) = .
2
2
Por último, es derivable en el intervalo abierto ] − 1, 1[ con derivada

−1

0
−π
2

Figura 3.17 arcocoseno 1

1 arcsen (x) = √
.
1 − x2

Arcoseno
Arcoseno y

Función arcocoseno
Es la función inversa de la restricción de la función coseno al intervalo [0, π], y por tanto cos(arccos(x)) = x, ∀x ∈ [−1, 1].
Esta función es biyectiva, continua y estrictamente decreciente con π arccos(−1) = π, arccos(0) = , arccos(1) = 0
2
Es derivable en el intervalo abierto ] − 1, 1[ con derivada
−1
arccos (x) = √
.
1 − x2

Función arcotangente
Es la inversa de la restricción de la función tangente al intervalo − π , π y, por tanto,
2 2 π π arctan : R → − ,
2 2 verifica que tan(arctan(x)) = x, ∀x ∈ R.
a) Esta función es biyectiva, continua y estrictamente creciente con π π lim arctan(x) = − , arctan(0) = 0, lim arctan(x) = . x→+∞ x→−∞
2
2
b) Es derivable en R y arctan (x) =

1
.
1+x2

– 41 –

Funciones elementales

Funciones elementales

π
2
π
4

−6

−5

−4

−3

−2

−1

−π
4

0

1

2

3

4

5

Arcotangente

−π
2
Figura 3.18 Función arcotangente

3.2.10

Identidades trigonométricas
a) Identidades pitagóricas sen2 (x) + cos2 (x) = 1 tan2 (x) + 1 = sec2 (x) cotan2 (x) + 1 = cosec2 (x)
b) Suma y diferencia de ángulos sen(x ± y) = sen(x) cos(y) ± cos(x) sen(y) cos(x ± y) = cos(x) cos(y) tan(x ± y) =

sen(x) sen(y)

tan(x) ± tan(y)
1 tan(x) tan(y)

c) Angulo doble sen(2x) = 2 sen(x) cos(x), cos(2x) = cos2 (x) − sen2 (x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sen2 (x)
d) Angulo mitad
1
sen2 (x) = (1 − cos(2x))
2
1 cos2 (x) = (1 + cos(2x))
2
x
1 − cos(x) sen(x) tan
=
=
2
sen(x)
1 + cos(x)
e) Producto
1
(cos(x − y) − cos(x + y))
2
1 cos(x) cos(y) = (cos(x − y) + cos(x + y))
2
1 sen(x) cos(y) = (sen(x + y) + sen(x − y))
2

sen(x) sen(y) =

– 42 –

6

Funciones elementales

3.2.11

Funciones elementales

Funciones hiperbólicas
De forma análoga a como están definidas las funciones seno y coseno, podemos interpretar geométricamente las funciones hiperbólicas. El papel que juega la circunferencia unidad x2 +y2 = 1 lo pasa a representar la hipérbola x2 − y2 = 1. En este caso, relacionamos el punto (x, y) con el área α que aparece sombreada en la figura 3.19. x2 − y2 = 1
1
(α), (α))

Área α

−1

Figura 3.19

Seno y coseno hiperbólicos

Las funciones hiperbólicas están definidas como: senh(x) =

e x − e−x e x + e−x senh(x) , cosh(x) =
, tanh(x) =
2
2 cosh(x) Por analogía con las funciones trigonométricas hablaremos también de tangente, secante y cosecante hiperbólica.
4
3
2
1

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

−1
−2
Figura 3.20

Seno hiperbólico
Coseno hiperbólico

Funciones hiperbólicas

– 43 –

Ejercicios

3.2.12

Funciones elementales

Identidades hiperbólicas
a) Identidades “pitagóricas” cosh2 (x) − senh2 (x) = 1, tanh2 (x) + sech2 (x) = 1 cotanh2 (x) − cosech2 (x) = 1
b) Sumas y diferencias de ángulos. senh(x + y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y), senh(x − y) = senh(x) cosh(y) − cosh(x) senh(y), cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y), senh(x − y) = cosh(x) cosh(y) − senh(x) senh(y).
c) Ángulo doble senh2 (x) =

−1 + cosh(2x)
,
2

cosh2 (x) =

1 + cosh(2x)
.
2

Funciones hiperbólicas inversas arcsenh(x) = log x +

x2 + 1

arccosh(x) = log x +

x2 − 1

arctanh(x) =

1+x
1
log
2
1−x

3.3 Ejercicios
Ejercicio 3.1. Calcula el dominio de las siguientes las funciones: x c) y = 1−|x|
a) y = x−2 x+2 b) y = log

x2 −5x+6 x2 +4x+6

d) y = tan x +

π
4


Ejercicio 3.2. Si f (x) = 1/x y g(x) = 1/ x, ¿cuáles son los dominios naturales de f , g, f + g, f · g y de las composiciones f ◦ g y g ◦ f ?
Ejercicio 3.3. Estudia si son pares o impares las siguientes funciones:
a) f (x) = |x + 1| − |x − 1|
d) f (x) = e x − e−x
e) f (x) = sen (|x|)
b) f (x) = log 1+x
1−x
f) f (x) = cos(x3 ) x + e−x
c) f (x) = e

– 44 –

Funciones elementales

Ejercicio 3.4.

Ejercicios

¿Para qué números reales es cierta la desigualdad e3x+8 (x + 7) > 0?

Ejercicio 3.5. Comprueba que la igualdad alog(b) = blog(a) es cierta para cualquier par de números positivos a y b.
Ejercicio 3.6. Resuelve la siguiente ecuación:
1
1
1
1
=
+
+
. log x (a) logb (a) logc (a) logd (a)
Ejercicio 3.7. ¿Para qué valores de x se cumple que log(x − 1)(x − 2) = log(x − 1) + log(x − 2)?
Ejercicio 3.8.



Prueba que log x + 1 + x2 + log 1 + x2 − x = 0.

Ejercicio 3.9.

Resuelve la ecuación x



x

=



x

x

.

Ejercicio 3.10. Simplifica las siguientes expresiones:
a) alog(log a)/ log a , x b) loga loga (aa ) .
Ejercicio 3.11.

Comprueba que si f (x) =

1
1−x ,

entonces f ◦ f ◦ f (x) = x.

Ejercicio √
3.12. Calcula la inversa de las siguientes funciones
3
ex
b) f (x) = 1+ex
a) f (x) = 1 − x3
Ejercicio 3.13.

¿Hay algún valor de x e y para los que se cumpla que

Ejercicio 3.14.

¿Hay algún valor de x e y para los que se cumpla que

– 45 –



x+y=

1 x+y =

1 x √

√ x + y?

+ 1? y…...

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...complex number. Since a complex number z = x + iy is comprised of two real numbers it is natural to consider a plane in which to place a complex number. We shall see that there is a close connection between complex numbers and two-dimensional vectors. In the second part of this Block we introduce an alternative form, called the polar form, for representing complex numbers. We shall see that the polar form is particularly advantageous when multiplying and dividing complex numbers. 9 6 x know what a complex number is Prerequisites Before starting this Block you should . . . 8 y understand how to use trigonometric functions cos θ, sin θ and tan θ z understand what a polynomial function is { possess a knowledge of vectors 7 Learning Outcomes Learning Style After completing this Block you should be able To achieve what is expected of you . . . to . . .  represent complex numbers on an Argand diagram  obtain the polar form of a complex number  multiply and divide complex numbers in polar form  allocate sufficient study time  briefly revise the prerequisite material  attempt every guided exercise and most of the other exercises 1. The Argand diagram In Block 10.1 we met a complex number z = x + iy in which x, y are real numbers and √ i = −1. We learned how to combine complex numbers together using the usual operations of addition, subtraction, multiplication and division. In this block we examine a useful geometrical description of complex numbers. Since a complex......

Words: 2320 - Pages: 10

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Numbers

...Bigla akong tumayo na naninikip ang dibdib.  Sinabi ko sa nanay na namatay na si Rivhard at pupuntahan koagad sa St.'s Peters Chapel kung saan siya nakaburol.  Sa St.'s Peters, sinabi sa information na sa huling silid sa kaliwa naroon ang aking kaibigan.  Sa pagkapasok ko pa lamang sa silid ay nakita ko na agad ang iba naming kabarkada. Puro sila malu-lungkot at halos maiyak-iyak.  Di ko mapigil ang aking luha habang minamasdan ang mukha ni Richard sa loob ng kabaong. May mga tapal ang kanyang pisngi at noo. Lumapit sa aking ang kapatid niyang si Cristine. "Nabundol ang kotseng sinasakyan niya."  "Saan nangyari ito?" ang tanong ko.  "Sa may Magallanes Village, sa Expressway, noong Sabado. Walang ngang nakakita sa plate number nong truck. Hit and run kasi ang nangyari."  "Nanghinga ako nang mabasa ko sa pahayagan ngayong hapon. Nagmamadali nga akong pumarito," wika ko.  Isang mabait at masayang kaibigan si Richard. Marami siyang kaibigan, mahirap at mayaman. Buhat pa ng maliliit kami ay mag kaibigan na at madalas magakasama, nagbabasketball, namamasyal, nagsisimba, at iba pang gawain ng mga bata. ...

Words: 1774 - Pages: 8

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Number

... Connecting to the Real World Brandy Whited Everest University Online Professor Wolf August 23, 2013 Since I started online school sometimes it’s hard to get the correct answer from somebody especially in the financial aid department. Every time I called them regular my financial aid I always get a different answers then I was told. I think the reasons why I get so many different answers they are getting the proper training on how to do their job better. There is one thing that affects me when it comes to my financial aid department. They never give me the correct answer when it comes to the paper work they need from me. It gets me, so frustrated why couldn’t they give me the correct answer in the first place. During that process it makes me feel why I even chose this university. I remember I get challenge from the professor at this university which that is they thing I really like. I feel if they got the proper training they could make students feel more comfortable when it comes to the financial aid process. The financial aid process is long process you need to make sure you have the patience through the whole process. I feel my journey at Everest was long......

Words: 1208 - Pages: 5

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Number One

...goods; their market-leading brands were Softies cookies and Homestyle muffins and doughnuts. In addition to Pemberton, Candler also operated a beverage division, a quick service restaurant division and a pet care division. Candler’s 2011 revenue was $18 billion, with Pemberton contributing approximately $5 billion in sales. Pemberton’s income as a percent of sales for 2011 was: ________________________________________________________________________________________________________________ HBS Senior Lecturer Frank V. Cespedes and writer Heather Beckham prepared this case solely as a basis for class discussion and not as an endorsement, a source of primary data, or an illustration of effective or ineffective management. Although based on real events and despite occasional references to actual companies, this case is fictitious and any resemblance to actual persons or entities is coincidental. Copyright © 2013 President and Fellows of Harvard College. To order copies or request permission to reproduce materials, call 1-800-545-7685, write Harvard Business Publishing, Boston, MA 02163, or go to http://www.hbsp.harvard.edu. This publication may not be digitized, photocopied, or otherwise reproduced, posted, or transmitted, without the permission of Harvard Business School. Purchased by: Giovanni Maria Baldini GBALDINI@ITESM.MX on September 24, 2013 913-574 | Launching Krispy Natural: Cracking the Product Management Code Sales COGS Brand Advertising & Marketing......

Words: 4387 - Pages: 18

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The Number Line

...THE NUMBER LINE BY George L Williams III Contents * THE NUMBER LINE * Extended real number line * Drawing the number line * Line segmentation * Comparing numbers * Arithmetic Operations * Arithmetic Operations (cont.) * Algebraic properties * Cartesian Plane/Cartesian Coordinate System * An Overview * My words * Applications of the number line * Resources * THE NUMBER LINE Mathematics is one of the most useful and fascinating divisions of human knowledge. In mathematics, a real number is a value that represents a quantity along a continuous line. The real numbers include all the rational numbers, such as the integer – 5 and the fraction 4/3, and all the irrational numbers such as positive square root of 2,√2. Real numbers can be thought of as points on an infinitely long number line. In basic mathematics, a number line is a picture of a straight line on which every point is assumed to correspond to a real number and every real number to a point. Often the integers are shown as specially-marked points evenly spaced on the line. Although this image only shows the integers from −9 to 9, the line includes all real numbers, continuing forever in each direction, as shown by the arrows and also numbers not marked that are between the integers. It is often used as an aid in teaching simple addition and subtraction, especially involving negative numbers. On the number line, numbers......

Words: 3875 - Pages: 16

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Random Numbers

...Random numbers in C++ and The Pythagorean Theorem Name Course Date Random numbers in C++ and The Pythagorean Theorem Introduction Computer programs in light of the technological advances that have been made, arguably make up for the most important concepts in such developments. A set of instructions designed to assist a computer to prefer a given task is referred to as a computer program. There are numerous languages used to create/design computer for instance Java Script, Java, C++, SQL and Sage (Laine, 2013). Computer programming is defined as a process of developing a working set of computer instructions meant to aid the computer in the performance of a given task. Computer programming starts with the formulation of a valid computer problem. This process is then followed by the development of an executable computer program, for instance Firefox Web Brower (Laine 2013). It is worth noting that there are other programs in the same realm. Computer programming is a diverse field that is of utmost importance in the modern world, especially with the continuous expansion of the internet. Perhaps the relevance of this can be underlined by the fact that computer programming has carved out as a course on itself. Computer programming is offered under several courses studied in colleges and universities (Laine, 2013). Computer programming is not only for computer students but for all who use computers on a day to day basis. This is by extension everyone since the...

Words: 9330 - Pages: 38

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“the Numbers Game”

...“The Numbers Game” A Speech by SEC Chairman Arthur Levitt Article Review The article, “The Numbers Game” 1 is about the Securities Exchange Commission (SEC) Chairman, Arthur Levitt’s concern over earnings management. Specifically, he expressed during a speech at the NYU Center for Law and Business his distress over an evolving problem with a game played among market participants to manipulate their financial reporting numbers motivated by Wall Street earnings expectations. Chairman Levitt is very passionate and direct in his 1998 speech. It appears that he was invited to honor Bill Allen, the first Director of the NYC Center for Law and Business and he took the opportunity to use this occasion as a platform to voice his concern over the growing problem of market manipulation made by public companies. Mr. Levitt feared that this practice could destroy the quality of earnings and financial reporting. Levitt, the SEC and other aligned corporations were all concerned with the growing practices of financial manipulation fearing that deception appeared to be losing out to integrity. Mark 8:36 says, “What good is it for someone to gain the whole world, yet forfeit their soul?” Corporations who conduct such deceitfulness are winning at the cost of their existence. They are willing to bet their whole life for a few moments of glory on Wall Street. In my opinion, it was very courageous for Mr. Levitt to call out these corporations and put them on notice that their......

Words: 1762 - Pages: 8

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Number Game

...REMARKS BY CHAIRMAN ARTHUR LEVITT SECURITIES AND EXCHANGE COMMISSION THE "NUMBERS GAME" NYU CENTER FOR LAW AND BUSINESS, NEW YORK, N.Y. SEPTEMBER 28, 1998 Thank you very much. Dean Daly, Dean Sexton and to everyone gathered this evening, thank you for welcoming me tonight. I am honored to be here on such an auspicious evening for both NYU and Bill Allen. The creation of the Center for Law and Business recognizes an important truth: we cannot continue to view the worlds of business and law as parallel but separate universes. And NYU could not have selected a more qualified or thoughtful individual than Bill as its first director. His leadership of the Delaware Court of Chancery -- acknowledged as the nation's most influential arbiter of corporate law -- confirmed his reputation as a great thinker who effortlessly bridges the worlds of law and business. I've heard from friends on Wall Street that it's a far less stressful experience to hear Bill lecture in front of a classroom than from his former seat on the bench. Seven months ago, I expressed concerns about selective disclosure. Through conference calls or embargoed press releases, analysts and institutional investors often hear about material news before it is made public. In the interval, there is a great deal of unusual trading. The practice had been going on for a long time. And, while everyone was aware of it, and most were extremely uncomfortable with it, few spoke out. As the investor's advocate, the SEC did and we......

Words: 3255 - Pages: 14

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Number 40

...Number 40 The feeling of forgetting a phone, a name, and an address is simply frustrating and can mess with your head. It can make you quite uneasy and ruin the rest of the day. Some part of you is not really there, when you forget you’re most valuable belongings. The feeling of forgetting and delirious is exactly what we see in the short “Number 40” by Sarah Butler, from the anthology The Picador Book of 40, 2012. In the short story Number 40 we meet the anxious and unbalanced Melissa. Melissa is feeling anxious because she forgets a lot of things, and this time it is her phone. The short story is told through a third person limited narrator, where the narrator follows the forgetful Melissa throughout the story, and the reader is only able to read only her thoughts and feelings (s. 1, ll. 1-2) Melissa is living with her fiancé Simon: “Now they were living together”. “The ring Simon has given her two weeks ago” – “Three neat diamonds caught in three gold claws”. Simon has proposed to her, just two weeks ago. Melissa felt sick at the time, Simon proposed to her (s.3, ll. 84-85) she either felt vile because of the food or maybe she had a bad hunch towards the relationship. Moreover the relationship did not always seem to go as smooth (s.1, ll. 1-7) She feels like he is ignoring her, like she is not even there. The narrator uses flash back (s. 1, ll. 14-27) where Melissa and Simon was on vacation, where everything seemed wonderful and happy. But as soon as they came......

Words: 1215 - Pages: 5

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Number Tree

...Number Three The world now a day seems to be split into mainly to worlds - The Western - and the eastern world. It appears to be the idea, in the western part, that people in for example China only are put into the world for ‘our’ delight. That all they should ever do is just work in factories or the tertiary sector and never granting them a single thought. It is this prevailing idea, and the biggest population on the earth, that gives the Chinese leaders a lust for power and a unique opportunity of taking advantages of the lower classes, making them work longer hours and paying them less. It is a great scenario moneywise for the Western firms because it is possible for companies to produce/submit their products to absurdly low prices. But who is affected when western people make extraordinary demands? In the short story ‘Number Three’ Anna Metcalfe (A.M.) tries to give one version of what happens when an employee, on the one hand, has a manager, whom the employee is scared of asking for help and thereby showing weakness, and on the other hand has a ‘customer’, whom the employee is trying to satisfy and comply with the demands there may come. In the short story, we are introduced to Miss Coral. She now lives in the city Chongqing in China. She was born and raised a few hundred miles in the country. In the story, she works as International Hostess for Number Three Middle School since the rival school had employed a “Real English Tea......

Words: 1080 - Pages: 5

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Number Three

...Number Three The postmodern society is constantly changing. All the old things such as buildings are replaced with the impeccable modern ones. Just like the former English Teacher, Miss Coral who is caught between a rock and a hard place. Today people have to be perfect and everything we are occupied with must be done flawlessly. The author Anna Metcalfe emphasizes exactly this issue in the short story “Number Three”, where Miss Coral is trapped in a culture clash. She´s replaced with a so called “Real English Teacher” – the contemporary ideal person, Mr. James. Miss Coral is replaced with Mr. James who is supposed to be a better teacher than her. Her boss says he has done her a favour by making her an international hostess, in charge of an English teacher program. After all he could have chosen to fire her, “The director was keen that she should not take the redistribution of her skills as a sign of promotion (…) she has been withdrawn from teaching on grounds of incompetence”, (line 13-15). Throughout the short story “old” Miss Coral is equated with the Tianfu slum. She is replaced with Mr. James, who is modern and new. The old city is also replaced with something better and fresh, “The shanty town shacks of Tianfu, half flattened, are making way for settlement housing”, (line 19-20). The setting plays a major role in the short story as it refers to Miss Coral´s state of mind. The big polluted city has “flattened” Miss Coral and her career. The smog and dust in the......

Words: 1017 - Pages: 5

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Composite Numbers

...education certificate or degree can not only open up more career choices, it also can increase your career income by three times as much which can give you financial stability. As I think about my college experience, because of my lack of wanting an education, I realized that I was at a disadvantage with other students who were from upper-middle class suburbs. I grew up in a poor community and while there was the expectation that poor kids going off to college, was unheard of, the educational policy was based on the idea that poor kids would end up in a jail cell or a body bag. As such learning has increased in the poverty stricken communities a proper higher academic education was not a high priority but increasingly it’s become real necessity (TCO5 and TCO9). Did you know the average person landing a job post high school graduation makes at entry-level approx. $16,000 – $31,000 per year (payscale.com). The earning potential for an entry-level college graduate is approx. $30,000 - $ 52,000 (payscale.com), depending on your career choice. Seeking higher education can increase your earning potential immensely the more you learn the more you earn in today’s society. With the economy in turmoil and the unemployment rate rising, many post high school jobs is either going into bankruptcy or are laying off workers to survive. There are many degree programs available with substantial earning potential for you grasp on way to success a functionalist would view this......

Words: 1244 - Pages: 5

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Number Crunching the Numbers

...Running head: CRUNCHING THE NUMBERS Crunching the Numbers PAD 505 Public Budgeting and Finance Prepared by: Margaret Mack Prepared for: Dr. Angela Parham Strayer University May, 13,2012 Margaret Mack 2339 Wavetree Lane NW Acworth, Ga., 30101 May 13, 2012 There are two infrastructure projects to choose from and the city council wants to pick only one. The projects are independent so they could choose both if they like. I have done the calculations to see which is the most beneficial and would be a better decision. When making the decision we could look at the one with the lower payback but this is the least effective rule for making our decision. The Net present value (NPV) is the most effective rule for making our decision. Project A is a new housing development and project B is downtown parking facility. In addressing infrastructure projects A and B the calculations show that project A has a payback 5.21 years for year 1, 4.18 years for year 2 and 3.53 years for year 3. Project B has a payback period of 2.44 years for year 1 and a payback period of 1.17 for year two. So in order to meet our required objective of 2.75 project B is the best choice because it falls under what our projected payback period of 2.75 years. However, as previously stated this is not a reliable rule in decision making. Consequently, since project B has an internal rate of return that’s greater than our twelve percent requirement this makes it an attractive choice. Also this......

Words: 1079 - Pages: 5